Slabé aritmetické teorie a jejich modely.

Abstract

V předložené práci studujeme teorie v jazyce aritmetiky L rozšířeném o jeden binární funkční symbol s významem exponenciály. Pro libovolnou teorii v jazyce aritmetiky pak lze zavést její rozšíření v tomto novém jazyce Le přidáním dodatečných axiomů postulujících základní vlastnosti exponenciály. Používáme dva soubory axiomů pro exponenciálu - Exp1 a Exp2. V teoriích, kterými se zabýváme, je tedy vždy exponenciála zavedena axiomaticky. Ukazujeme, že v takových teoriích není velká Fermatova věta dokazatelná, a to v podstatě bez ohledu na sílu původní teorie. V práci zavádíme obecnou parametrickou metodu konstrukce exponenciály v modelech aritmetiky spočívající v "rozložení nějaké původní exponenciály na kratší úseky a jejich opětovném sestavení do exponenciály splňující požadované vlastnosti. Jako aplikace této metody jsou pak uvedeny tři konzistenční výsledky týkající se silnějších verzí negace velké Fermatovy věty. Prvním výsledkem je konstrukce modelu v práci definované aritmetiky Ar + Exp1, v němž má rovnice x + y = z nenulové řešení pro kofinálně mnoho exponentů . Druhý výsledek umožňuje expandovat libovolný model teorie I1 do modelu teorie Exp2, ve kterém je Fermatova věta opět porušena kofinálně mnoha exponenty. Třetím výsledkem je konstrukce modelu teorie ThL(N) + Exp2, v němž nastává x + y = z pro...

In the present thesis we study arithmetical theories in the language of arithmetic L extended by one binary functional symbol for exponentiation. For arbitrary theory in the language of arithmetic it is possible todefine its extension in this new language Le by adding axioms postulatingbasic properties of exponentiation. We consider two axiomatic systems for exponentiation - Exp1 and Exp2. Thus exponentiation is always defined axiomatically in the theories we deal with. We show that in such theories the Fermat's last theorem is unprovable no matter how strong the original theory is. In the thesis we develop a general method of construction of exponential function. This method subsists of "splitting some original exponential function in shorter segments and of rearranging them to form new exponential function which satisfies required properties. As an application of this method three independence results for stronger variants of negation of Fermat's last theorem are prooved. As a first result we construct model of theory Ar + Exp1 defined in the thesis in which the equation x + y = z has nonzero solution for cofinally many 's. The second result allows to expand an arbitrary model of I1 to model of theory Exp2 in which again Fermat's theorem is violated by cofinally many 's. The third result is a construction...