Věty Hellyho typu a zlomkového Hellyho typu

Abstract

Simpliciální komplex je d-reprezentovatelný, pokud je nervem souboru konvexních množin v Rd. Klasická Hellyho věta říká, že pokud d-reprezentovatelný komplex obsahuje všechny možné stěny dimenze d, potom se už nutně jedná o plný simplex. Hellyho věta má mnoho zobecnění; uvedeme stručný přehled některých z nich. Třída d-reprezentovatelných komplexů je podtřídou d-kolabovatelných komplexů, a ta je podtřídou d-Lerayových komplexů. Pro d 1 uvedeme příklad komplexů, které jsou 2d-Lerayovy, ale nejsou (3d 1)-kolabovatelné. Pro d 2 uvedeme příklad komplexů, které jsou d-Lerayovy, ale nejsou (2d 2)-reprezentovateln'e. Navíc pro d 3 dokážeme, že naposledy zmiňované komplexy jsou také d-kolabovatelné. Na závěr reprezentujeme jednoduchý důkaz kombinatorické Alexandrovy duality. Ta je totiž užitečným topologickým nástrojem pro kombinatoriku, například pro topologické verze Hellyho věty.

A simplicial complex is d-representable if it is the nerve of a collection of convex sets in Rd. Classical Helly's Theorem states that if a d-representable complex contains all the possible faces of dimension d then it is already a full simplex. Helly's Theorem has many extensions and we give a brief survey of some of them. The class of d-representable complexes is a subclass of d-collapsible complexes, and the latter is a subclass of d-Leray complexes. For d 1 we give an example of complexes that are 2d-Leray but not (3d 1)-collapsible. For d 2 we give an example of complexes that are d-Leray but not (2d 2)-representable. We show that for d 3 the complexes from the last example are also d-collapsible. We also give a simple proof of the Combinatorial Alexander Duality, which is a useful topological tool for combinatorics, e.g., for topological versions of Helly's Theorem.