Limitní ultramocnina a neregulární univerzum

Abstract

Je navrženo zobecnění limitní ultramocniny tak, aby poskytlo charakterizaci (standardně omezených částí) elementárních rošíření universa teorie množin; speciálně je aplikovatelná na modely nestandardní teorie množin. Důraz je přitom kladen na slabý princip standardizace, kterému je věnována zvláštní sekce, stejně jako otázce saturovanosti. Jsou zachyceny souvislosti mezi elementární vnořitelností nestandardních rozšíření universa a zobecněným Rudin-Keislerovým uspořádáním, a mezi standardizovatelností a Rudin-Frolíkovým uspořádáním ultrafiltrů. Dále je ukázáno, že existence nestandardních rozšíření, k jejichž nagenerování ze standardního universa je třeba vlastní třídy prvků, vynucuje existenci modelu s měřitelným kardinálem.

The limit ultrapower is generalized to complete distributive lattices equipped with a ultrafilter and a partition system. This construction provides a complete characterization of the internal universe in models of nonstandard set theory: we prove that bounded part of an elementary extension of a set universe is given by suitable partition ultrapower. Our special interest is in models where a weak form of standardization holds. The Rudin-Keisler preorder on ultrafilters is defined on partition systems on ultrafilters such that it corresponds to embeddings of related partition ultrapowers, whereas Rudin-Frolík ordering characterizes those embedddings which are standardizable. Finally, the problem whether set-many elements are always enough to generate the internal universe from its standard part is considered. It's shown that the existence of a narrow elementary extension which doesn't rise from adjunction of set-many elements implies an existence of highly nonregular ultrafilters, and thus is equivalent to a large-cardinal hypothesis.