Periodické regresní kvantily

Abstract

Práce se zabývá novým přístupem ke konstrukci konfidenčních množin pro vícerozměrné náhodné veličiny a pro vícerozměrné náhodné výběry. To lze také chápat jako jedno z možných rozšíření pojmu kvantil na více rozměrů. Postup je založen na transformaci vycentrovaného náhodného vektoru do polárních (resp. hypersférických) souřadnic a poté určení tzv. směrových kvantilů. To jsou vlastně klasické jednorozměrné kvantily pro rozdělení poloměru podmíněné volbou úhlu polárních souřadnic. Výběrový protějšek směrového kvantilu odhadneme pomocí trigonometrické řady, jejíž koeficienty získáme kvantilovou regresí. Přechodem zpět ke kartézské soustavě souřadnic získáváme periodický regresní kvantil. První kapitola je věnována volbě středu sloužícího k vycentrování dat. Nabídneme několik variant volby takového bodu. Zkoumána bude teoretická i výběrová varianta. Důraz bude především kladen na nejhlubší bod. Druhá kapitola je věnována kvantilové regresi a zejména těm jejím rysům, které mají vliv na vlastnosti výběrového periodického regresního kvantilu. Třetí a nejobsáhlejší kapitola již popisuje samotnou konstrukci a vlastnosti periodických regresních kvantilů. Popisována bude jak teoretická tak i výběrová varianta a jejich vzájemný vztah. Několik simulačních příkladů a zpracování reálných dat je uvedeno na konci této kapitoly.

The thesis deals with a new approach to construction of confidence regions for multivariate random variables and multivariate random samples. This can also be viewed as one of the possible generalizations of the notion of quantile into a multidimensional case. The approach is based on the following: in the first step, a centred random vector is transformed into polar (hyperspherical) coordinates. Afterwards, so-called directional quantiles are determined. These are classical unidimensional quantiles for distribution of the radius conditional on the angle of the polar coordinates. Sample analogy of the directional quantiles is estimated using trigonometrical series with coefficients obtained by quantile regression. The first chapter deals with the choice of the origin for the centralization of the data. We examine both theoretical and sample cases. We offer several variants with focus on the deepest point. The second chapter concerns quantile regression with focus on the aspects, which have an impact on the properties of sample periodical regression quantiles. The third and most exhaustive chapter is devoted to periodical regression quantiles construction and properties. Both theoretical and sample variants and their relationship are described. Several examples are offered in the end of the chapter.