Perfektní dláždění simplexů

Abstract

V předložené práci se zabýváme problémem k-samodlážditelnosti d-dimenzionálních simplexů. Simplex S je k-samodlážditelný, pokud se dá rozdělit na k navzájem shodných simplexů (s disjunktními vnitřky), jež jsou navíc podobné původnímu simplexu S. Jediné dosud známé k-samodlážditelné simplexy v dimenzi d 3 jsou pro hodnotu k = md, kde m 2. V práci nastiňujeme Matouškův důkaz neexistence 2-samodlážditelných simplexů pro d 3, který poté opravíme. Uvádíme několik vlastních geometrických postřehů pro k = 2. Na závěr dokazujeme, že v prostoru dimenze 3 neexistuje 3-samodlážditelný simplex.

In the present work we study the problem of k-reptile d-dimensional simplices. A simplex is called a k-reptile if it can be tiled in k simplices with disjoint interiors that are all congruent and similar to S. The only k-reptile simplices that are known for d 3 have k = md, where m 2. We also show an idea of Matoušek's proof of nonexistence of 2-reptile simplices of dimensions d 3. We correct a mistake in the proof. Then we give several geometric observations for k = 2. At the end we prove that there is no 3-reptile simplex for d = 3.