Structure of flow-continuous mappings in algebraic context

Abstract

We explore the structure of the cycle space of the graphs - most notably questions about nowhere-zero flows and cycle double covers. We touch several facets of this field. First we show that there are edge 2-connected graphs which distinguish Z2 2- and Z4- connectivity (group connectivity which is a strengthening of nowhere-zero flows). Then we examine a conjecture of Matt DeVos which asserts existence of group flows given existence of a graph homomorphism between suitable Cayley graphs. We introduce a strengthening of this conjecture called strong homomorphism property (SHP for short) which allows splitting vertices (and hence a reduction to cubic graphs). We conjecture that SHP holds for every graph and the smallest group in which the graph has a nowhere- zero flow and we prove that both SHP and the original conjecture imply existence of cycle double covers with few cycles. The question we discuss the most is counting objects on graphs - especially counting circuit double covers. We shows an almost exponential lower bound for graphs on surfaces with nice embeddings and we also show that this bound does not apply to Flower snarks. Then we shows quite precise bound for flower snarks and we also improve the lower bound for planar graphs to an exponential one. Along the way we build a framework for counting...

- Structure of Flow-continuous Mappings in Algebraic Context Radek Hušek Práce zkoumá strukturu prostoru cyklů v grafech - speciálně otázky o nikde-nulových tocích a dvojpokrytích cykly. Nejprve ukážeme, že existují hranově 2-souvislé grafy, které rozlišují Z2 2 a Z4 grupovou souvislost (grupová souvislost je zesílením nikde-nulových toků). Poté zkoumáme domněnku Matta DeVose o existenci toků v grafech za podmínky, že existuje grafový homomorfismus mezi vhodnými Cayleyho grafy. Formulujeme zesílení této domněnky, které nazýváme "strong homomorphism property" (SHP), které nám dovolí rozdělovat vrcholy vyššího stupně (a tedy redukovat problém na kubické grafy). Předkládáme hypotézu, že SHP platí pro každý graf a nejmenší grupu, v níž má tento graf nikde-nulový tok. Také ukazujeme, že jak SHP, tak původní domněnka implikují existenci dvojpokrytí cykly s malým počtem cyklů. Následně se zabýváme počítáním objektů na grafech - speciálně dvojpokrytí kružnicemi. Ukazujeme téměř exponenciální dolní odhad pro grafy s vhodným nakreslením na plochu, ale taktéž nahlédneme, že tento odhad se nevztahuje na Flower snarky, které žádné takové nakreslení nemají. Následně ukazujeme asymptoticky těsný odhad na počet CDC Flower snarků a taktéž vylepšujeme dolní odhad pro rovinné grafy na exponenciální. Na závěr...