Iterative methods for Tichonov regularization with generalized regularization terms

Abstract

The aim of this thesis is to study hybrid methods for solving ill-posed linear inverse problems corrupted by white noise. These approaches are based on the combination of iterative Krylov subspace methods and the Tichonov regularization with a general regularization term. We explain the basic properties of ill-posed problems, the idea of regularization, the role of the regularization term to enforce desirable properties to the solution and the theoretical background of Standard and General Tichonov minimization. Then we explain shift invariance of Krylov subspaces. This allows us to describe a hybrid approach where the full size problem is first projected onto a Krylov subspace of a smaller dimension and then the Tichonov minimization is applied to the small projected problem. We focus on the regularization based on the finite difference approximation of derivatives of the solution. The well known regularization terms constructed from forward differences for the first and the second derivative are summarized, then we use the Taylor expansion to construct finite differences of higher orders of precision. We incorporate different variants of boundary conditions. Then the impact of the order of precision of the finite difference schemes on the quality of the solution is studied. In the experiments we use the...

Cílem této práce je studovat hybridní metody pro řešení lineárních ill-posed problémů obsahujících bílý šum. Tyto přístupy jsou založené na kombinaci iteračních Krylovov- ských metod a Tichonovské regularizace se zobecněným regularizačním členem. Popí- šeme základní vlastnosti ill-posed úloh, myšlenku regularizace, vliv regularizačního členu na vynucení žádoucích vlastností řešení a teoretické základy Standardní a Zobecněné Ti- chonovské minimalizace. Dále dokážeme tzv. shift invarianci Krylovovských prostorů. To nám umožní uvést iterativní hybridní přístup, při kterém projektujeme problém na Krylo- vovský prostor menší dimenze a následně na něj aplikujeme Tichonovskou minimalizaci. Soustředíme se na regularizaci založenou na aproximaci derivace řešení pomocí koneč- ných diferencí. Prezentujeme známé regularizační členy konstruované pomocí dopředné diference pro první a druhou derivaci a dále využijeme Taylorův rozvoj pro konstrukci ko- nečných diferencí vyšších řádů přesnosti. Použijeme různé varianty okrajových podmínek. Studujeme vliv řádu přesnosti schématu pro výpočet konečné diference na kvalitu spoč- teného řešení. Pro potřeby experimentů používáme hybridní metodu kombinující LSQR s Tichonovskou regularizací. 1