Mathematical Analysis of Selected Problems for Complex Fluids

Abstract

We study long-time and large-data existence theory of selected recently developed fluid mechanics models suitable for describing the mechanical behavior of materials with complex microstructure. In the first part of this work we focus on the Bingham type mod- els for granular materials with the activation parameter (critical value for the magnitude of the stress) dependent on the internal pore pressure. Our motivation comes from re- cent research concerning the implicitly constituted materials and also from an interesting paper by Chupin and Mathé [Chupin, Mathé, 2016], where the existence of weak solu- tions to the given problem was proved only in two spatial dimensions. Here we consider slightly different model (than in [Chupin, Mathé]) that we are able to derive from the basic governing equations of the theory of mixtures and we extend the existence result to three spatial dimensions. In the second part of this work we are concerned with fast developing field of viscoelastic materials. We study long-time and large-data existence of viscoelastic rate-type fluid models of higher order as they represent the simplest models suitable for describing the mechanical behavior of viscoelastic materials with complex microstructure. We are not aware of any long-time and large-data existence results for such models....

Zkoumáme existenční teorii pro dlouhé časy a velká data úloh pro vybrané nedávno vyvinuté modely mechaniky kontinua vhodné pro popis mechanického chování materiálů s komplexní vnitřní strukturou. V první části práce se soustředíme na modely Binghamova typu pro granulované materiály s aktivačním parametrem (klíčová hodnota pro velikost napětí) závislým na tlaku uvnitř dané směsi. Naší motivací je nedávný výzkum týkající se materiálů popsaných implícitními konstitutivními vztahy a také zajímavý článek [Chupin, Mathé, 2016], kde je existence slabých řešení dané úlohy ukázána jen ve dvou prostorových dimenzích. Zde uvažujeme mírně odlišný model (oproti článku [Chupin, Mathé, 2016]), který jsme schopni odvodit ze základních bilančních rovnic teorie směsí a rozšiřujeme exis- tenční výsledek do třech prostorových dimenzí. Ve druhé části práce se zabýváme rychle se rozvíjející oblastí viskoelastických materiálů. Zkoumáme existenční teorii pro dlouhé časy a velká data úloh pro viskoelastické modely rychlostního typu vyšších řádů, jenž představují nejjednodušší modely vhodné pro popis mechanického chování viskoelastic- kých materiálů s komplexní vnitřní strukturou. Nevíme o žádných výsledcích týkajících se existenční teorie pro dlouhé časy a velká data úloh pro tyto modely. Motivováni článkem [Masmoudi, 2011], kde je...