Tateova-Šafarevičova grupa eliptické křivky

Abstract

Tato práce se zabývá Tateovou-Šafarevičovou grupou a jejím vztahem k racionál- ním bodům na křivce a jejímu ranku. Napřed definujeme pojem profinitní grupy a cha- rakterizujeme je jako Galoisovy grupy tělesových rozšíření. Potom definujeme Tateovu- Šafarevičovu grupu pomocí Galoisovy kohomologie a vysvětlíme její vztah k racionálním bodům křivky. Nakonec zformulujeme Birchovu-Swinnerton-Dyerovu domněnku, která dává do souvislosti rank eliptické křivky a řád její Tateovy-Šafarevičovy grupy. 1

This thesis deals with the Tate-Shafarevich group and its relation to rational points on the curve and its rank. We first define the notion of profinite groups and characterize them as Galois groups of field extensions. Then we define the Tate-Shafarevich group using Galois cohomology and explain its relation to the rational points on the curve. Finally, we formulate the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture, which relates the rank of an elliptic curve and the order of its Tate-Shafarevich group. 1