The combinatorics of pattern-avoiding matrices

Abstract

Permutační matice P částečné vynechává kvazi-permutační matici A (jinými slovy, 01- matici takovou, že každý sloupec a řádek matice A obsahuje nejvýše jednu nenulovou hod- notu), pokud neexistuje podmatice P′ matice P stejné velikosti jako A splňující Ai,j ≤ P′ i,j pro každé indexy i a j. Kvazi-permutační matice A a B jsou částečně Wilf-ekvivalentní, pokud pro každé n ∈ N počet permutačních matic řádu n částečné vynechávajících A je stejný jako počet permutačních matic řádu n částečně vynechávajících B. Tyto pojmy zobecňují známý koncept vynechávání permutací a Wilfovy ekvivalence permutací. Stě- žejní oblast výzkumu je klasifikace permutací řádu k do tříd Wilfovy ekvivalence. Tato klasifikace je známa pro k = 1, 2, . . . , 7. V naší práci studujeme stejný problém pro kvazi- permutační matice. Konkrétně, klasifikujeme všech 371 kvazi-permutačních matic veli- kosti nejvýše 4×4 do říd částečné Wilfovy ekvivalence (dvě kvazi-permutační matice patří do stejné třídy právě tehdy, když jsou částečně Wilf-ekvivalentní). V průběhu odvodíme několik obecných výsledků o tom, jak zkonstruovat z jedné či dvou kvazi-permutačních matic více kvazi-permutačních matic, které jsou po dvou částečně Wilf-ekvivalentní. 1

A permutation matrix P partially avoids a quasi-permutation matrix A (i.e., a 01- matrix such that each column and row of A contains at most one nonzero entry) if there is no submatrix P′ of P of the same size as A satisfying Ai,j ≤ P′ i,j for all possible indices i and j. Two quasi-permutation matrices A and B are partially Wilf-equivalent if, for every n ∈ N, the number of permutation matrices of order n partially avoiding A is the same as the number of permutation matrices of order n partially avoiding B. This generalizes the well-known concept of avoidance and Wilf equivalence of permutations. One of the central topics in this area is the classification of permutations of order k into Wilf equivalence classes. The complete classification is known for k = 1, 2, . . . , 7. In our thesis, we study the same problem for quasi-permutation matrices. Namely, we classify all 371 quasi-permutation matrices of size at most 4 × 4 into partial Wilf equivalence classes (two quasi-permutation matrices belong to the same class if and only if they are partially Wilf-equivalent). Along the way, we prove several general results showing how to construct from one or two quasi-permutation matrices more quasi-permutation matrices that are pairwise partially Wilf-equivalent. 1