Maticové rozklady v teorii konstitutivních vztahů pro spojité prostředí

Abstract

We study the application of the QR decomposition in the theory of Green elastic solids with emphasis on transversely isotropic materials such as fiber-reinforced materials. We provide a methodology, how to use the QR decomposition to describe materials with gen- eral fiber orientation including curved fibers. We then focus on the so-called conjugate stress / strain basis model, and we show that for isotropic materials the model is equiva- lent to the standard model of Green elastic solid. We also provide a methodology, how to describe transversely isotropic materials using the QR decomposition. Next, we consider the popular standard reinforcing material model with spatially-varying fiber directions and fiber stiffnesses, and we perform numerical experiments in various geometries. To our best knowledge, our implementation is the first implementation of numerical solvers for QR based models with spatially-varying fiber directions. Finally, we compare the results for the conjugate stress / strain model with the results for the standard model of Green elasticity and linear elasticity. 1

Studujeme použití QR rozkladu v teorii Greenových elastických materiálů s důrazem na transverzálně izotropní materiály, jako jsou materiály vyztužené vlákny. Uvádíme metodiku, jak využít QR rozklad k popisu materiálů s obecnou orientací vláken včetně zakřivených vláken. Poté se zaměříme na takzvaný model sdruženého páru napětí / de- formace (conjugate stress / strain basis) a ukážeme, že pro izotropní materiály je tento model ekvivalentní standardnímu modelu Greenovy elastické pevné látky. Uvádíme také metodiku, jak pomocí QR rozkladu popsat trasnverzálně izotropní materiály. Dále uvažu- jeme populární model standardního vyztuženého materiálu (standard reinforcing mate- rial) s prostorově proměnnými směry vláken a tuhostí vláken a provádíme numerické experimenty v různých geometriích. Podle našich nejlepších znalostí je naše implemen- tace první implementací numerických řešičů pro modely založené na QR s prostorově proměnnými směry vláken. Nakonec porovnáme výsledky pro sdružený pár napětí / deformace s výsledky pro standardní model Greenovy elasticity a lineární elasticity. 1