Dvourozměrná rozdělení při daných marginálech

Abstract

One of the tools for study of dependence between random variables are co- pulas. While modelling multidimensional variables it is possible using Sklar's theorem to model through copulas marginal distributions and relationship be- tween them separately, this approach thus enables us to split construction of multi-dimensional distributions into these two factors. With marginal distributi- ons fixed, the construction is consisting of appropriate copula choice only. This thesis deals with copulas in the case of two-dimensional distributions with conti- nuous fixed marginal distributions and is focused on parametrical copulas, mainly through Archimedean copulas. Basic properties of copulas with Sklar's theorem, which enables studying copulas in stochastic context, are presented here. Further, measures of dependence such as Kendall's tau, Spearman's rho and coeficients of tail dependence are in connection with copulas studied in this thesis. At the end, the thesis deals with methods of estimation unknown parameters, which are ilustrated on two examples. 1

Jedním z nástrojů pro studium závislosti mezi náhodnými veličinami jsou kopule. Při modelování vícerozměrných veličin je pomocí Sklarovy věty možné prostřednictvím kopulí modelovat zvlášť marginální rozdělení a vztah mezi nimi, tento přístup nám tak umožňuje rozdělit si konstrukci vícerozměrných rozdělení na tyto dva faktory. Při pevných marginálních rozděleních pak konstrukce spočívá pouze ve volbě vhodné kopule. Tato práce se zabývá kopulemi v případě dvouroz- měrných rozdělení s danými spojitými marginálními rozděleními a je zaměřena na parametrické kopule, především prostřednictvím Archimédovských kopulí. Jsou zde uvedeny základní vlastnosti kopulí a Sklarova věta, která umožňuje jejich studium ve stochastickém kontextu. Dále jsou zde ve spojitosti s kopulemi stu- dovány míry závislostí Kendallovo tau, Spearmanovo rho a koeficienty závislosti chvostů. Na závěr se práce zabývá metodami pro odhad neznámých parametrů kopulí, které jsou ilustrovány na dvou příkladech. 1