Elementární teorie grup lineárních lomených transformací

Abstract

The thesis focuses on the properties of general projective linear group PGL2(F) and its action on the projective line P1 (F), both for a finite and an infinite field F. Only the basic knowledge from the Bachelor studies is used to prove these properties. Sharp 3- transitivity of the said group is discussed. Then, we deal with the subgroups consisting of identity and all elements whose sets of fixed points coincide. Furthermore, we show under which conditions all these subgroups have the property that all their finite subgroups are cyclic. We deduce that for a finite field F, it holds that all of these groups are cyclic if and only if F is equal to Zp for a prime number p. The thesis then focuses on the action of PGL2(F) by conjugation on the set of these sungroups. Finally, it is shown that projective special linear group PSL2(F) is simple. 1

Práce popisuje vlastnosti obecné projektivní lineární grupy PGL2(F) a jejího působení na projektivní přímce P1 (F), a to jak pro konečné, tak i pro nekonečné těleso F. K důka- zům těchto vlastností jsou zde využívány pouze základní znalosti z bakalářského studia. Rozebrána je ostrá 3-tranzitivita zmíněné grupy. Poté jsou zkoumány podgrupy tvořené identitou a všemi prvky, jejichž množiny pevných bodů se shodují. Je rovněž popsáno, za jakých podmínek mají tyto podgrupy vlastnost, že každá jejich konečná podgrupa je cyklická. Následně se odvodí, že v případě, že je těleso F konečné, platí, že jsou cyklické všechny tyto grupy, právě když F je rovno Zp pro nějaké prvočíslo p. Dále se práce sou- středí na působení PGL2(F) konjugací na množině těchto svých podgrup. Nakonec je dokázána jednoduchost projektivní speciální lineární grupy PSL2(F). 1