Nonlinear classes of mappings: properties and approximation

Abstract

In this thesis, we explore classes of mappings suitable for models in Nonlinear Elastic- ity. We investigate whether, given the presence of certain desirable properties, there exists an element within the class that exhibits pathological behaviour. In the presented papers, we primarily focus on subclasses of Sobolev mappings, particularly weak closures of home- omorphisms with additional properties. These properties typically manifest themselves in the form of an additional term in the energy functional. We show that weak limits of Sobolev homeomorphisms in W1,n−1 satisfy the so-called (INV ) condition if the integrability of the reciprocals of the Jacobians is sufficiently high. This result is sharp and we present a counterexample for cases of lower integrability. The (INV ) condition is also preserved under weak limits when we add a term dependent on the cofactor matrix of the derivative, as its integrability provides some regularity for the inverses of the homeomorphisms in the sequence. Furthermore, we show that assumptions on regularity of the inverses can also ensure a.e. differentiability of the limit. Other topics investigated in this thesis include the sizes of critical sets violating the Luzin (N) condition in the case of Sobolev homeomorphisms and the (dis)continuity of mappings of generalized...

V této práci se věnujeme třídám zobrazení vhodných pro modely v nelineární elasticitě. Zkoumáme, zda za předpokladu jistých žádoucích vlastnosí tato třída obsahuje prvek vykazující patologické chování. V předkládaných článcích se primárně soustředíme na podtřídy Sobolevových prostorů, jmenovitě na slabé uzávěry homeomorfismů s dalšími přidanými vlastnostmi. Tyto vlastnosti se typicky projevují ve formě dalšího členu ve funkcionálu energie. Ukážeme, že slabé limity sobolevovských homeomorfismů v prostoru W1,n−1 splňují takzvanou (INV ) podmínku, pokud mají převrácené hodnoty jakobiánů dostatečně vysokou integrabilitu. Tento výsledek je optimální v tom ohledu, že uvádíme protipříklad pro případy nižší integrability. (INV ) podmínka je rovněž zachovaná, pokud přidáme do funkcionálu energie člen závisející na kofaktorové matici derivace, neboť jeho integrabilita zaručí regularitu inverzů aproximujících homeomorfismů. Navíc ukážeme, že předpoklá- daná regularita inverzů také zajišťuje diferencovatelnost limity skoro všude. Další témata zkoumaná v této práci zahrnují velikost kritické množiny porušující Luzi- novu (N) podmínku v případě sobolevovských homeomorfismů a (ne)spojitost zobrazení se zobecněnou distorzí, kde uvádíme jak pozitivní výsledky, tak protipříklad ve dvou dimenzích. 1