Porovnanie priamych regularizačných metód založených na najmenších štvorcoch pre úlohy zaťažené šumom

Abstract

In this thesis we are going to deal with the inverse linear approximation problem Ax ≈ b, where our goal is to find the best approximation x of the unknown exact solution. We are going to especially focus on the so-called rank-deficient and ill-posed problems, which are very ill-conditioned and sensitive to possible random noise present in b. To solve these problems, we must use regularization methods, which suppress this sensitivity. The main goal of this thesis is to get a comprehensive overview of direct methods T-SVD, T- TLS and Tikhonov regularization, and analyse their close connection with classical least squares methods. One possible approach is to formulate these regularization methods as so-called filtering. In this way we implement them for numerical experiments. This thesis will also include a numerical comparision of these methods for selected problems from the Regularization Toolbox and in the application problem of image reconstruction. 1

V práci sa budeme zaoberať inverznou lineárnou aproximačnou úlohou Ax ≈ b, kde je naším cieľom nájsť čo najlepšiu aproximáciu x neznámeho presného riešenia. Špeciálne sa sústredíme na tzv. rank-deficient a ill-posed úlohy, ktoré sú veľmi zle podmienené a citlivé na možný náhodný šum prítomný v b. K riešeniu takýchto úloh potom musíme použiť regularizačné metódy, ktoré túto citlivosť potlačia. Hlavným cieľom práce bude získať ucelený prehľad o priamych metódach T-SVD, T-TLS a Tichonovskej regulari- zácii, a analyzovať ich úzku spätosť s klasickými metódami najmenších štvorcov. Jeden z možných prístupov je formulovať tieto regularizačné metódy ako tzv. filtračné. Takýmto spôsobom si ich budeme implementovať pre numerické experimenty. Súčasťou práce bude numerické porovnanie týchto metód na vybraných úlohách z Regularizačného Toolboxu a v aplikačnej úlohe rekonštrukcie obrazu. 1