Aproximace metodou TLS: lineární fitování dat pro problémy s nepřesným modelem

Abstract

In this thesis, we concern ourselves with the linear approximation problem, where errors in both the observation and the data are considered. We focus on the total least squares problem (TLS), which may be used in solving such tasks. We summarise ba- sic theory of the existence and uniqueness of the TLS solution, present the classic TLS algorithm and examine some possible complications, which may appear during its imple- mentation. Furthermore, we shall study the singular value decomposition (SVD), which is used in constructing the TLS solution. As the SVD is rather difficult to compute, we discuss one of the possible methods of approximating only its part necessary for the construction of the TLS solution, the so called singular triplets. This method is based on Golub-Kahan iterative bidiagonalization. Finally, we shall test how the quality of the approximation of the smallest singular triplets influences the computed TLS solution. 1

V předložené práci se budeme zabývat lineární aproximační úlohou, kde pozorování i model jsou zatíženy chybami, a zaměříme se na problém úplných nejmenších čtverců (TLS), jímž lze takové úlohy řešit. Shrneme klasickou teorii existence a jednoznačnosti TLS řešení, uvedeme klasický TLS algoritmus a podíváme se na komplikace, které mohou při jeho implementaci nastat. Dále budeme studovat singulární rozklad (SVD) matice, jež se využívá při konstrukci TLS řešení. Podrobně popíšeme metodu jeho výpočtu. Protože je výpočet SVD poměrně náročný, soustředíme se dále na možnost aproximace jeho části potřebné ke konstrukci TLS řešení, tzv. singulárních tripletů, založené na Golub-Kahanově iterační bidiagonalizaci. Nakonec budeme v numerických experimentech testovat vliv kva- lity aproximace nejmenších singulárních tripletů na spočtené TLS řešení. 1