Universal quadratic forms over orders in number fields

Abstract

This thesis studies quadratic forms and lattices over rings of integers in number fields, and, to some extent, over non-maximal orders as well. The main focus is on universality of forms and lattices, and on the connected notion of the Pythagoras number. We mostly study totally positive definite forms and lattices over totally real fields, as this is arguably the most difficult case with very unpredictable behaviour. In some chapters we develop a general theory valid for fields of all degrees - in particular when we study the quadratic Waring's problem -, while in others we present important detailed results for families of fields in low degrees. By this we fulfill several purposes: We obtain interesting results, directly in line with questions studied by the likes of Siegel; we illustrate and further develop a multitude of techniques which could be applied in other situations; and we formulate conjectures and questions which can stimulate further research. Particular focus is put on real biquadratic fields; the first two chapters significantly advance the theory of integral quadratic forms over them. 1

Práce se zabývá kvadratickými formami a mřížemi nad okruhy celistvých prvků v čí- selných tělesech a částečně také nad nemaximálními řády. Důraz je kladen na otázku univerzality forem a mříží a na související pojem Pythagorova čísla. Zkoumáme téměř výlučně totálně pozitivně definitní formy a mříže nad totálně reálnými tělesy, neboť se jedná o zřejmě nejobtížnější případ a jejich chování je těžko předvídatelné. Někde budujeme obecnou teorii platnou pro číselná tělesa libovolného stupně - zvláště když studujeme kvadratický Waringův problém -, zatímco jinde prezentujeme významné a po- drobné výsledky pro konkrétní rodiny těles nízkého stupně. Tím sledujeme několik cílů: Získané výsledky jsou zajímavé a přímo navazují na otázky zkoumané velikány, jako byl Siegel; také ilustrujeme a dále rozvíjíme různé techniky a nástroje, použitelné i v jiných situacích; a konečně formulujeme domněnky a otevřené otázky, které mohou inspirovat budoucí výzkum. Zvláštní důraz je kladen na reálná bikvadratická tělesa; první dvě ka- pitoly významně přispívají k teorii celočíselných kvadratických forem nad nimi. 1