Properties of function spaces and operators acting on them

Abstract

The present thesis is focused on the study of properties of function spaces con- taining measurable functions, and operators acting on them. It consists of four papers. In the first paper, we establish a new characterization of the set of Sobolev functions with zero traces via the distance function from the boundary of a do- main. This characterization is innovative in that it is based on the space L1,∞ a of functions having absolutely continuous quasinorms in L1,∞ . In the second paper, we investigate properties of certain new scale of spaces governed by a functional involving the maximal nonincreasing rearrangement and powers. Motivation for studying such structures stems from a recent research of sharp Sobolev embeddings into spaces furnished with Ahlfors measures. In the third paper, we extend discretization techniques for Lorentz norms by eliminating nondegeneracy restrictions on weights. We apply the method to characterize general embeddings between classical Lorentz spaces. In the fourth paper, we characterize triples of weights for which an inequality involving the superposition of two integral operators holds. We apply results from the third paper to avoid duality and to obtain thereby a general result. 1

Tato disertační práce je věnována studiu vlastností prostorů funkcí a operátorů na nich. Práce sestává ze čtyř vědeckých článků. V prvním článku uvádíme novou charakterizaci množiny Sobolevových funkcí s nulovou stopou pomocí funkce vzdálenosti od hranice oblasti. Tato charakteri- zace nově využívá prostor L1,∞ a , který obsahuje funkce z prostoru L1,∞ s absolutně spojitou kvazinormou. Ve druhém článku zkoumáme vlastnosti jisté nové škály prostorů, které jsou definovány pomocí funkcionálu založeného na maximálním nerostoucím přerovná- ní a mocninách. Motivace pro studium těchto struktur pochází z nedávného výzkumu optimálních Sobolevových vnoření do prostorů s Ahlforsovou mírou. Ve třetím článku rozšiřujeme existující diskretizační metodu pro Lorentzovy normy tak, aby ji bylo možno uplatnit i pro degenerované váhy. Pomocí této nové techniky charakterizujeme obecné vnoření mezi klasickými Lorentzovými prostory. Ve čtvrtém článku charakterizujeme trojice vah, pro které platí nerovnosti ob- sahující superpozici dvou integrálních operátorů. Aplikace výsledků třetího článku nám dovolí vynechat techniky založené na dualitě, a získat tím obecnější výsledek. 1