Polomřížky a nerozložitelné prvky

Abstract

This thesis concerns the theory of semilattices, which are non-trivial discrete additive submonoids of Rn , which are contained in a cone. Special emphasis is on their indecomposable elements. The most important example of semilattices is derived from real quadratic number fields, which involves the most parts of the thesis and all indecomposable elements of such semilattices are characterised in two ways. That includes using various tools from number theory, mainly con- tinued fractions, their corresponding semiconvergents and their approximation properties, Farey pairs, but also some tools from algebraic number theory. The final part of the thesis concerns the upper bound of the norm of indecompos- able elements in a semilattice, derived from the Minkowski embedding of the corresponding number field. 1

Tato práce se zabývá teorií polomřížek, což jsou netriviální diskrétní podmo- noidy v Rn se sčítáním, které jsou obsaženy v nějakém kuželi. Speciální pozornost je věnována jejich nerozložitelným prvkům. Nejdůležitější případ polomřížek je odvozen z reálných kvadratických číselných těles, kterému je věnována značná část práce a charakterizace nerozložitelných prvků těchto polomřížek je v práci doká- zána dvěma způsoby, k čemuž je využito různých partií z teorie čísel, především se jedná o řetězové zlomky, k nim příslušné polokonvergenty a jejich aproximační vlastnosti, Fareyho dvojice, ale také je použita algebraická teorie čísel. Závěrečná část práce je dále věnována hornímu odhadu normy nerozložitelných prvků v po- lomřížce, odpovídající Minkowského vnoření příslušného číselného tělesa. 1