Metody rozkladu oblasti pro řešení parciálních diferenciálních rovnic pomocí nespojité Galerkinovy metody

Abstract

Tato práce se zabývá analýzou a numerickou studií metody rozkladu oblasti a z ní vzniklých matic pro předpodmínění systémů algebraických rovnic, které nám vznikají z nespojité Galerkinovy (DG) diskretizace linearního eliptického problému. Představíme DG diskretizaci na modelovém problému. Odvodíme vlastnosti bilineární formy a meze čísel podmíněnosti pro odpovídající formy a matice. Dále představíme Additivní Schwar- zovu metodu a její aplikaci jako předpodmiňovač pro systém algebraických rovnic. Znovu odvodíme odhady čísla podmíněnosti pro předpodmíněný systém algebraických rovnic. Nakonec, představíme výsledky numerických experimentů, které podporují teoretické výsledky a ukazují na potenciál této metody. 1

This thesis deals with the analysis and numerical study of the domain decomposi- tion method based preconditioner for algebraic systems arising from the discontinuous Galerkin (DG) discretization of the linear elliptic problems. We introduce the DG dis- cretization of the model problem. We derive from the properties of the bilinear form the spectral bounds of corresponding forms and matrices. Moreover, we present the Addi- tive Schwarz method and its application as a preconditioner for the system of algebraic equations. We derive the spectral bounds of the preconditioned system of algebraic equa- tions. Finally, we present the numerical results that support the theoretical results and demonstrate the potential of this approach. 1