Nejednoznačné rozklady v číselných tělesech

Abstract

Hlavním cílem práce je zkoumat ireducibilní rozklady v oborech celistvých prvků čísel- ných těles. Ke zkoumání těchto rozkladů je velmi nápomocný jednoznačný rozklad ideálů na prvoideály. Ireducibilní rozklady nějakého prvku x totiž jistým způsobem korespondují s rozkladem na prvoideály hlavního ideálu generovaného tímto prvkem x. Také je defino- váno třídové číslo a podrobněji se práce zabývá obory s třídovým číslem 2 a 3. V oborech s těmito třídovými čísly práce charakterizuje podobu ireducibilních prvků a zabývá se ire- ducibilními rozklady, které nejsou jednoznačné. Je dokázána Carlitzova věta, která dává úplnou charakterizaci oborů s třídovým číslem nejvýše 2. Poté práce rozšiřuje některé charakterizační vlastnosti i pro obory s třídovým číslem 3. Nakonec je ukázána cesta k nalezení všech ireducibilních rozkladů čísla 126 v oboru celistvých prvků Z [︂ 1+ √ −23 2 ]︂ . 1

The thesis is studying irreducible factorization in rings of integers of an algebraic number fields. To study factorization, the unique factorization of ideals into prime ideals is extremely useful. The irreducible factorization of an element x in a way corresponds with factorization of principal ideal, generated by x, into prime ideals. The class number is defined and the thesis is focusing on rings with class numbers 2 and 3. In rings with those class numbers the thesis characterizes irreducible elements and irreducible facto- rization, which is not unique. The Carlitz theorem, which fully characterizes rings with class number at most 2, is proved. Then the thesis extends some characteristic proper- ties for rings with class number 3. At the end there is demonstrated searching for all irreducible factorizations of the number 126 in algebraic number ring Z [︂ 1+ √ −23 2 ]︂ . 1