Filtrace modulů

Abstract

Cílem této práce je seznámit čtenáře s pojmem C-filtrace, ukázat vlast- nosti speciálních případů C-filtrací a zkonstruovat strukturu rozšiřující obec- nou C-filtraci. První kapitola se zabývá definicí C-filtrace, transfinitní kom- poziční řady a její délky, semiartinovského modulu, sokl-posloupnosti a její délky, důkazem Jordan-Hölderovy věty pro transfinitní kompoziční řady a důkazem vlastností, příslušných obecnému semiartinovskému modulu. Ve druhé kapitole se definuje pojem uzavřené podmnožiny ordinálu a jeho vlast- nosti. Tento pojem je klíčový pro důkaz Hillova lemmatu, který pro dosta- tečně obecnou C-filtraci poskytuje úplný, distributivní, hustý podsvaz obsa- hující danou C-filtraci. Poslední třetí kapitola se zabývá duálním pojmem k pojmu sokl-posloupnosti, klesající Loewyho řadou, důkazem rovnosti jejich délek pro moduly konečné délky a analýzou vztahů jejích délek pro případy obecných modulů.

The aim of this thesis is to familiarise the reader with the concept of a C-filtration, to show properties of special instances of C-filtrations and to construct structures corresponding to general C-filtrations. The first chapter deals with the definition of a C-filtration, a transfinite composition series and its length, the semiartinian module, the socle-sequence and its length, a proof of the Jordan-Hölder Theorem for transfinite composition series and a proof of the properties relevant to general semiartinian modules. In the second chapter, the concept of a closed subset of an ordinal and its properties are defined and proved, this concept is key to the proof of Hill's Lemma, which for a general C-filtration provides a complete, distributive, dense sublattice containing the given C-filtration. The last third chapter deals with the dual concept to the concept of the socle-sequence, the decreasing Loewy series. We prove the equality of their lengths for modules of finite length and analyze the relations of their lengths for the case of general modules.