Copula based models for multivariate data

Abstract

Diplomová práce se zabývá pravděpodobnostními modely závislostí pro dvourozměrné náhodné vektory, které jsou založeny na kopulích, a jejich vztahy s tzv. Scarsiniho mí- rami souladu. V první části se soustředíme na speciální případ dvourozměrných rozdělení s neatomickými (spojitými) marginálami a odvodíme základní principy klasické teorie kopulí. Ukážeme, že kopule plně charakterizují strukturu závislosti náhodných vektorů a zachycují všechny charakteristiky, které nezávisí na měřítku. Zavedeme klíčové koncepty komonotónie a kontramonotónie a korelačního uspořádání. Prozkoumáme Scarsiniho míry souladu a jejich vztah ke kopulím. Konkrétní příklady měr souladu, jako jsou populační Spearmanovo rho a Kendallovo tau, jsou prozkoumány detailně. Ve druhé části se věnu- jeme arbitrárním dvourozměrným rozdělením. Ukážeme problémy, které jsou způsobeny přítomností atomů v marginálních rozděleních a rozebereme způsoby, jak se dá řešit nejed- noznačnost asociovaných kopulí. Zavedeme tzv. bilineární interpolační kopule a ukážeme, že ony zobecňují jednoznačně určené asociované kopule, které jsme používali v případě neatomických marginál, a tím odůvodníme použitelnost syntetických a analytických mo- delů založených na kopulích v případě arbitrárních rozdělení. Chování Kendallova tau a Spearmanova rho v tomto obecném...

This thesis investigates probabilistic copula models for bivariate random vectors and their applications to dependency modelling and Scarsini measures of concordance. The first part focuses on bivariate distributions with non-atomic (continuous) marginals, es- tablishing key principles of classic copula theory. It demonstrates that copula functions preserve all scale-invariant characteristics of random vectors, fully describing their de- pendency structures. Key concepts such as counter- and co-monotonicity, as well as concordance ordering, are introduced. The study also examines Scarsini measures of concordance, establishing that copulae accurately capture these measures. Particular instances, including the population versions of Kendall's tau and Spearman's rho, are explored in depth. The second part focuses on arbitrary bivariate distributions. Issues arising from the presence of atoms in the marginals are outlined; ways to address the non-uniqueness of associated copulae are discussed. We introduce the concept of the standard extension copula, which generalises the unique copula of the non-atomic case and validates both analytical and synthetic copula models for arbitrary margins. The behaviour of Kendall's tau a Spearman's rho is explored and various re-normalisations for these coefficients are...