Banachovy-Tarského paradoxní dekompozice

Abstract

V této závěrečné práci se věnujeme různým paradoxům v celé jejich rozmanitosti. Na úvod čtenáře seznámíme s paradoxy týkajícími se nekonečna a jeho základní arit- metiky. Poté představíme několik geometrických a algebraických paradoxů, které vychá- zejí ze zdánlivě rozporuplných rozkladů. Práce hojně využívá pojem ekvirozložitelnosti a detailně zkoumá její vlastnosti. V závěru ji porovnáváme s nůžkovou kongruencí a ob- jasňujeme rozdíly mezi nimi. Čtenář se dále dozví potřebné základní informace z teorie míry a algebry, což jsou klíčové oblasti pro nalezení volné podgrupy generující paradoxní dekompozice. Závěrečná část je věnována hlavnímu tématu práce, Banachovu-Tarskému paradoxu, kde je dokázáno několik tvrzení a stručně prozkoumáno fungování tohoto pa- radoxu v různých dimenzích. 1

In this thesis, we examine the various paradoxes in all their diversity. We begin by introducing the reader to paradoxes concerning infinity and its basic arithmetic. We then introduce several geometric and algebraic paradoxes that arise from seemingly contradic- tory decompositions. The paper makes extensive use of the notion of equidecomposability and examines its properties in detail. We conclude by comparing it with scissor congru- ence and clarifying the differences between them. The reader will also learn the necessary background information from measure theory and algebra, which are key areas for finding the free subgroup generating paradoxical decompositions. The final section is devoted to the main topic of the paper, the Banach-Tarski paradox, where several propositions are proved and the operation of this paradox in various dimensions is briefly examined. 1