Balancing Space Complexity and Ambiguity in Superadditive Set Functions

Abstract

Set funkce nabízejí způsob, jak vyjádřit vztah mezi podmnožinami konečné množiny. Používají se v mnoha oblastech, včetně vysvětlitelné umělé inteligence, kombinatorických aukcí a kooperativní teorie her. Při aplikaci množinových funkcí na problém v reálném světě však existuje značná překážka: jejich velikost roste exponenciálně s velikostí nosné množiny. Žjištění hodnoty byť jediné podmnožiny však může být obtížné - stojí to například peníze, čas nebo výpočetní výkon. V této práci představujeme způsob jak nalézt rovnováhu mezi zdroji, které musíme vynaložit, a množstvím informací, které se o set funkci zjistíme. Pohlížíme na toto jako na optimalizační problém, pro který před- stavujeme jak přesná řešení, tak aproximace pomocí zpětnovazebního učení. Definujeme míru nejednoznačnosti, která vzniká díky neznámým hodnotám, a studujeme její vlast- nosti. Studujeme naše algoritmy na jednoduchých příkladech problému, stejně jako na velmi obecné třídě supermodulárních funkcí. Dále definujeme jednoduchou heuristiku, která drasticky snižuje naši metriku nejednoznačnosti na supermodulárních funkcích, při znalosti pouze lineárního počtu hodnot. 1

Set functions offer a way to express the relationship between subsets of some finite ground set. This is used in countless fields, including explainable AI, combinatorial auctions, and cooperative game theory. However, when applying set functions to a real- world problem, there is a significant roadblock: their size grows exponentially in size of the ground set, while finding out the value of even a single subset might be hard-costing, e.g., money, time, or computational power. In this thesis, we present a framework for striking a balance between the resources we need to expend, and the amount of information we learn about the set function. We frame this as an optimization problem, for which we find both exact solutions as well as approximations via reinforcement learning. We establish a measure for the ambiguity arising from the unknown values and study its properties. We show the performance of our approaches on simple instances of the problem as well as on the very general class of supermodular functions. Further, we define a very simple heuristic which drastically decreases our ambiguity metric on the supermodular class while only requiring a linear number of values to be known. 1