Cayleyovo kritérium pre rád bodu na eliptickej krivke

Abstract

Hlavným cieľom tejto práce je dôkaz Cayleovho kritéria, ktoré popisuje nutnú a posta- čujúcu podmienku na to, aby rád bodu (0, a0) na danej eliptickej krivke delil dané prirodzené číslo n. V práci popisujeme potrebnú teóriu k diskrétnym valuačným okruhom, algebraickým množinám a polynomiálnym a racionálnym funkciám na ireducibilných al- gebraických množinách. Zaoberáme sa tiež vlastnosťami rovinných kriviek a eliptických kriviek, ktoré sú špeciálnym prípadom afinných rovinných kriviek. Na množine bodov projektívneho uzáveru eliptickej krivky definujeme grupovú štruktúru dvomi spôsobmi - geometricky a pomocou divizorov - a ukazujeme, že tieto dve grupové štruktúry si odpovedajú. Nakoniec sa venujeme samotnému dôkazu Cayleyovho kritéria.

The main goal of this work is to prove Cayley's criterion, which describes a necessary and sufficient condition for the order of the point (0, a0) on a given elliptic curve to di- vide a given natural number n. In the work, we explain the necessary theory for discrete valuation rings, algebraic sets, and polynomial and rational functions on irreducible alge- braic sets. We also describe the properties of plane curves and elliptic curves, which are a special case of affine plane curves. We define a group structure on the set of points of the projective closure of an elliptic curve in two ways - geometrically and using divisors - and show that these two group structures correspond to each other. Finally, we focus on the proof of Cayley's criterion itself.