Řešení variačních úloh pomocí strojového učení

Abstract

Bakalářská práce se zaměřuje na prozkoumání několika základních metod založených na strojovém učení pro řešení problémů variačního počtu. Cílem je tyto postupy aplikovat na několik vybraných jednoduchých příkladů a porovnat je s tradičními numerickými me- todami. Práce začíná úvodem do variačního počtu a jeho využití ve fyzice a také úvodem do strojového učení za pomocí neuronových sítí. Následně je zvoleno několik jednoduchých variačních problémů jmenovitě brachistochrona, harmonický oscilátor a Laplaceova a Po- issonova rovnice a je uvedeno jejich analytické řešení. Na závěr jsou uvedeny metody strojového učení jako je přímá minimalizace funkcionálu akce, minimalizace za pomocí neuronové sítě a neuralODE's a jsou aplikovány na zvolené příklady. Experimenty jsou provedeny v programovacím jazyce Julia a výsledky jsou poté diskutovány a porovnány s analytickým řešením a jinými numerickými metodami. 1

The bachelor thesis aims to explore various basic approaches to the calculus of vari- ations problems in physics using machine learning. Our goal is to review these methods on simple, specific problems and compare them to more traditional numerical methods. The thesis begins with an introduction to the calculus of variations in physics and to neu- ral networks. Next, I choose basic, variational problems, including the brachistochrone, harmonic oscillator, and the Laplace and Poisson equation, and provide their analytical solutions. Finally, I introduce machine learning methods such as direct minimization of the action functional, minimizing the functional with neural networks and Neural ODEs, and apply them to our problems. The experiments are run in the programming language Julia, and the results are then discussed and compared with the analytical solution and other numerical methods. 1