Generování latinských čtverců a ortogonalita

Abstract

Práce se zabývá otázkou transformace jednoho latinského čtverce na druhý pomocí lokál- ních změn a aplikuje tuto teorii pro návrh algoritmů hledání latinského čtverce ortogo- nálního danému. V první kapitole pracujeme s konceptem nevlastního latinského čtverce, rozšířujícím dobře známý koncept latinského čtverce. Představujeme alternativní přístup k důkazu souvislosti grafu rozšířeného prostoru latinských čtverců. V druhé kapitole pro- pojujeme algoritmus Jacobsona a Matthewse, který realizuje náhodné procházení tímto grafem, s metodou generování binární operace ortogonální vůči dvěma zadaným binár- ním operacím. Navrhujeme dva heuristické algoritmy pro hledání binární operace, která je ortogonální k danému latinskému čtverci a aproximuje latinský čtverec. Nakonec oba algoritmy porovnáváme ve výpočetních experimentech na testovací množině latinských čtverců řádů 7-10. 1

The thesis investigates how to transform one Latin square into another using local chan- ges, and applies this approach to develop algorithms for finding Latin squares orthogonal to a given one. In the first chapter, we work with the concept of a improper Latin square, which extends the well-known concept of a Latin square. We introduce an alternative approach to proving the connectivity of the graph of the extended Latin square space. In the second chapter, we connect Jacobson and Matthews' algorithm, which implements random walk on the graph, with a method for generating a binary operation orthogonal to two given binary operations. We propose two heuristic algorithms for finding a binary operation orthogonal to a given Latin square and approximating a Latin square. Finally, we compare both algorithms in computational experiments on a test set of Latin squares of orders 7-10. 1