O některých protipříkladech řešitelnosti úlohy div u = f

Abstract

V této práci zkoumáme řešitelnost rovnice div u = f s nulovou okrajovou podmínkou pro vektorové pole u s důrazem na konstrukci protipříkladů existence řešení v Sobolevových prostorech. Začínáme vybudováním existenční teorie a vy- světlením myšlenek klíčových lemmat a vět. Naše hlavní výsledky se soustředí na konstrukci specifických typů oblastí, pro které řešení této úlohy neexistují. Nejprve rozšíříme klasický protipříklad od Luca Tartara, který byl původně for- mulován pro funkce pravé strany v L2 ve 2D, na širší třídu funkcí v Lp prostorech. Dále zobecňujeme tento výsledek do libovolné dimenze N. Nakonec se vracíme k 2D případu a zkoumáme oblasti s lepším chováním popisu hranice ve srovnání s hölderovskými oblastmi, které jsme zkoumali předtím. Pro určité speciální volby parametrů se nám podaří konstrukci rozšířit i pro tyto oblasti, čímž dohromady poskytujeme studii podmínek, za kterých daná úloha nemá řešení. 1

In this thesis, we investigate the solvability of the equation div u = f with a zero boundary condition for u. Our particular focus is on constructing counte- rexamples to the existence of a solution in Sobolovev spaces. We begin by estab- lishing the basic existence theory and explaining the ideas behind key lemmas and theorems. Our main results focus on constructing specific types of domains for which the solution does not exist. First, we extend the classical counterexample by Luc Tartar, originally formulated for right-hand side functions in L2 in 2D, to a broader class of functions in Lp spaces. We further generalize this result to arbitrary dimension N. Finally, we return to the 2D case and examine domains with better behavior on the boundary compared to previously studied Hölder domains. For specific parameter choices, we successfully extend the construction to these domains, thereby providing a comprehensive study of the conditions for which the problem does not have a solution. 1