Coherent sheaves on singular curves of genus one

Abstract

Budeme skúmať vlastnosti koherentných torzných zväzkov na hladkých a singulárnych krivkách. Ďalej klasifikujeme torzné koherentné zväzky na nodálnej singulárnej krivke. Budeme skúmať ohraničenú derivovanú kategóriu koherentných zväzkov na singulárnej Weierstrassovej krivke rodu jedna. Ako základný nástroj použijeme Siedelove a Thoma- sove rotačné funktory. Pojem semi-stability a numerické invarianty rank a stupeň tvo- ria základ pochopenia štruktúry danej kategórie. Ukážeme, že kategórie semi-stabilných koherentných zväzkov na singulárnej Weierstrassovej krivke danej fázy sú ekvivalentné kategórii torzných koherentných zväzkov.

We study properties of coherent torsion sheaves on smooth and singular curves and classify such sheaves on a nodal singular curve. We investigate the bounded derived category of coherent sheaves on a singular Weierstrass curve of genus one. As a main tool we will use Siedel-Thomas twist functors. The notion of semi-stability and the numerical invariants degree and rank are essential for understanding of the complexity of such a category. We show that any category of semi-stable coherent sheaves of a given phase is equivalent to the category of torsion coherent sheaves on a singular Weierstrass curve.