Development and analysis of monotone numerical schemes

Abstract

V této práci zkoumáme různé systémy silně vázaných nelineárních par- ciálních a obyčejných diferenciálních rovnic, které pocházejí převážně z biologických věd, a to jak teoreticky, tak numericky. Hlavní část této práce je věnována soustavám parabol- ických rovnic obsahujících tzv. cross-diffusion. Je dobře známo, že systémy těchto typů se obvykle vyznačují nízkou regularitu způsobenou charakterem členů popisujících cross- diffusion. Nedostatek regularity může být také způsoben strukturou ostatních rovnic přítomných v systému. Věnujeme se těmto problémům a získáváme výsledky o existenci globálních klasických řešení pro různé systémy zahrnující cross-diffusion. Dále ukazu- jeme, že analytické zkoumání chování řešení uvažovaných systémů může být velmi obtížné nebo neproveditelné a je nutno aproximovat příslušná řešení pomocí numerických metod. Ukazujeme, že chování numerických řešení silně závisí na vlivu členů popisujících cross- diffusion, tj. jsou-li tyto členy dominantní, stávají se standardní numerické metody nesta- bilními a přibližná řešení jsou obvykle zkreslena nefyzikálními oscilacemi. K překonání těchto problémů používáme nelineární metody konečných prvků s korekcí transportních toků (FE-FCT) s vysokým rozlišením. Poté analyzujeme navržená schémata a věnujeme se jejich řešitelnosti,...

In this thesis, we investigate various systems of strongly-coupled nonlin- ear partial and ordinary differential equations, which mainly originate from bio-science, both theoretically and numerically. For the main part of this work, systems of parabolic equation with cross-diffusion is considered. It is well-known that, the systems of these types usually suffer from low regularity due to the nature of the cross-diffusion term(s). Lack of regularity may also be caused due to the structure of the other equations present in the system. We address these difficulties and establish the existence of global classical solutions for different cross-diffusion systems. Next, we show that the analytical investi- gation may get very difficult or simply fail to solve or capture the behavior of the solutions of the considered systems and it is necessary to approximate the respective solutions by means of numerical methods. We show that the behavior of numerical solutions heavily depends on the effect of the cross-diffusion term(s), i.e., when these terms are dominant the standard numerical methods become unstable and the approximate solutions are usu- ally polluted by spurious oscillations. We present high-resolution nonlinear finite element flux-corrected transport (FE-FCT) methods to overcome this problem....