Well-posed optimization problems

Abstract

Zabýváme se vztahy mezi různými druhy well-posed optimalizačních úloh, se zamě- řením na well-posed minimalizační úlohy v metrických prostorech. Začínáme představe- ním konceptů Tikhonovovy, Levitin-Polyakovy, silné a Hadamardovy well-posedness, kde poskytujeme odpovídající charakterizace doplněné ilustrativními numerickými příklady. Hlavním výsledkem této práce je kompletní důkaz ekvivalencí mezi zmíněnými druhy well-posedness za konkrétních předpokladů. Pak také zkoumáme well-posedness v obec- nějším smyslu. V praktickém příkladu ukazujeme, že minimalizace rozptylu v portfoliu dvou aktiv je well-posed v každém smyslu. Dále se zabýváme pojmem ill-posed úloh a uvádíme Tikhonovovu regularizační metodu jako možný postup k jejich řešení. Na závěr probíráme praktická využití well-posedness v různých oborech.

We study the relations between different notions of well-posed optimization problems, with focus on the well-posedness of minimization problems in metric spaces. We begin by introducing the concepts of Tikhonov, Levitin-Polyak, strong and Hadamard well- posedness, providing corresponding characterizations along with illustrative numerical examples. The main result of this thesis is the complete proof of equivalences between these notions of well-posedness under specific assumptions. Then we also examine well- posedness in a generalized setting. As an application, we demonstrate that the problem of minimizing the variance of a two-asset portfolio is well-posed in every sense. Next, we explore the notion of ill-posed problems and present Tikhonov regularization method as an approach to solve them. Lastly, we discuss the practical applications of well-posedness across various fields.