Implicitní QR algoritmus s násobnými shifty

Abstract

V této práci se budeme zabývat hledáním vlastních čísel komplexních čtvercových matic. Pro tuto potřebu detailně odvodíme implicitní QR algoritmus s násobnými shifty. Při odvozování se seznámíme s mocninnou metodou, podprostorovými a simultánními iteracemi a explicitním QR algoritmem. Zavedeme do explicitního QR algoritmu shift a ukážeme jeho ekvivalenci s implicitním QR algoritmem. Následně zobecníme implicitní QR algoritmus pro aplikaci libovolného počtu shiftů a uvedeme pár shiftovacích strategií. Konvergenci a vliv volby shiftovací strategie na implicitní QR algoritmus ilustrujeme na numerických experimentech v prostředí MATLAB. 1

In this paper, we will focus on finding the eigenvalues of complex square matrices. For this purpose, we will derive in detail the implicit QR algorithm with multiple shifts. In the derivation, we will acquaint ourselves with the power method, subspace and simultaneous iterations, and the explicit QR algorithm. We will introduce shift into the explicit QR algorithm and demonstrate its equivalence with the implicit QR algorithm. Subsequently, we will generalize the implicit QR algorithm to apply any number of shifts and present a few shifting strategies. The convergence and impact of the choice of shifting strategy on the implicit QR algorithm will be illustrated with numerical experiments in the MATLAB environment. 1