Univerzalita množin bodů pro alternující hamiltonovské cesty

Abstract

Název práce: Univerzalita množin bodů pro alternující hamiltonovské cesty Autor: Ali Czech Katedra: Katedra aplikované matematiky Vedoucí bakalářské práce: doc. Mgr. Jan Kynčl, Ph.D., Katedra aplikované matematiky Abstrakt: Množinu M o n bodech v obecné poloze v rovině nazveme uni- verzální pro bipartitní graf G o n vrcholech, pokud pro každé 2-obarvení G červeně a modře, jež nevytváří monochromatickou hranu, a pro každé obarvení M se stejnými počty bodů obou barev jako v G, existuje rovinné nakreslení G takové, že každý vrchol G je nakreslen do jedinečného bodu M stejné barvy a hrany grafu G jsou nakresleny jako úsečky, které se nekříží. V této práci ukážeme, že množina bodů sudé velikosti menší než 16 ležící na kružnici je univerzální. Popíšeme konkrétní obarvení množiny o 16 bodech na kružnici, kde polovina bodů je červená, polovina modrá, ve které neexistuje alternující hamiltonovská cesta. V práci zavádíme konfiguraci dvoj-oblouku, která je podobná známé kon- figuraci dvoj-řetězce, kde jeden z oblouků je zrcadlově převrácený. Cílem práce je dokázat, že množina n bodů v konfiguraci dvoj-oblouku není univerzální pro žádné n. Klíčová slova: univerzální množina, alternující hamiltonovská...

Title: Universality of point sets for alternating Hamiltonian paths Author: Ali Czech Department: Department of Applied Mathematics Supervisor: doc. Mgr. Jan Kynčl, Ph.D., Department of Applied Mathematics Abstract: A set M of n points in general position in the plane is called universal for a bipartite graph G with n vertices if for every red-blue 2-coloring of G that does not create a monochromatic edge, and for every coloring of M with the same numbers of points of each color as in G, there exists a planar drawing of G such that each vertex of G is drawn at a unique point of M of the same color, and the edges are drawn as straight-line segments that do not intersect. In this paper, we show that a set of points of even size less than 16 lying on a circle is universal. We describe a specific coloring of a set of 16 points on a circle, where half are red and half are blue, and in which there is no alternating Hamiltonian path. In this work, we introduce the double-arc configuration, which is similar to the well- known double-chain configuration, where one of the arcs is mirror-inverted. The goal of this work is to prove that a set of n points in the double-arc configuration is not universal for any n. Keywords: Universal point set, alternating Hamiltonian path, double arc 1