Simple Semirings

Abstract

Známé tvrzení říká, že poud je komutativní těleso konečně generované jako okruh, je konečné. Tato práce je věnovaná zobecnění tohoto tvrzení - problému, jestli je kadý konečně generovaný ideálově jednoduchý komutativní polookruh aditivně idempotentní nebo konečný. Pomocí charakterizace ideálově jednoduchých polookruhů dokážeme, že tato otázka je ekvivalentní otázce, zda je každé komutativní parapolotěleso (polookruh, jehož multiplikativní pologrupa je grupou), které je konečně generované jako polookruh, aditivně idempotentní. V práci odvodíme řadu užitečných vlastností takovýchto parapolotěles a využijeme jich k vyřešení problému v jednogenerovaném případě. Na závěr uvedeme, jak je možné využít získaných poznatků o parapolotělesech k vyřešení dvougenerovaného případu pomocí zkoumání podpologrup Nm0.

A well-known statement says that if a commutative field is finitely generated as a ring, then it is finite. This thesis studies a generalization of this statement - problem, whether every finitely generated ideal-simple commutative semiring is additively idempotent or finite. Using the characterization of idealsimple semirings we prove that this question is equivalent to the question, whether every commutative parasemifield (i.e., a semiring whose multiplicative semigroup is a group), which is finitely generated as a semiring, is additively idempotent. In the thesis we deduce various useful properties of such parasemifields and use them to solve the problem in the one-generated case. Finally, we mention a way of using obtained properties of parasemifields for the solution of the two-generated case via the study of subsemigroups of Nm0.