Částečné k-stromy na plochách

Abstract

V této práci je řešen následující problém: Je dán graf G neúplný k-strom vnořitelný do některé plochy. Je možné jej doplnit tak, aby vznikl úplný k-strom, který je do dané plochy stále vnořitelný? Jak je ukázáno, pro malá k (· 2) to jde na libovolné ploše. Naopak, pro k ¸ 4 lze na každé ploše najít graf, který doplnit nelze a pro dostatečně velké k již nelze doplnit žádný. Případ, kdy k = 3, je hraniční, nebot' existuje nekonečně mnoho vnořitelných úplných 3-stromů, ale nejsou vnořitelné všechny. Ví se, že takto rozšiřovat lze 3-stromy v rovině, zde je pro úplnost uveden prozatím nepublikovaný důkaz prof. Kratochvíla a prof. Thomase. V této práci je důkaz rozšířen na projektivní rovinu. Další plochy zatím prozkoumané nejsou.

This work is solving the following problem: A graph G, a partial k-tree embeddable into some surface, is given. Is it possible to complete it to a k-tree in such a way that it is still embeddable? We show that this is always possible for small k (· 2) on any surface. On the contrary, for k ¸ 4, one can find a partial k-tree that is not possible to complete in this way, and for k large enough, there is no partial k-tree that could be completed. The case k = 3 makes the border case, because there is an infinite list of complete 3-trees embeddable into any surface, but not every 3-tree is embeddable. It is known that every partial 3-tree can be completed in the plane. To keep the thesis self-contained we present here the so far unpublished proof of prof. Kratochvíl and prof. Thomas. We extend this result to the projective plane. Other surfaces are still unexplored.