Samodlážditelné simplexy

Abstract

V předložené práci se zabýváme problémem k-samodlážditelnosti čtyřstěnů. Simplex S je k-samodlážditelný, pokud se dá rozdělit na k navzájem shodných simplexů (s disjunktními vnitřky), jež jsou navíc pdobné původnímu simplexu S. V rovině jsou všechny k-samodlážditelné trojúhleníky charakterizovány, na druhou stranu jediné k-samodlážditelné simplexy v dimenzi d 3 jsou známy pro hodnotu k = md, kde m 2, tzv. Hillovy simplexy. V práci dokážeme, že v dimenzi 3 existují k-samodlážditelné čtyřstěny pouze pro k = m3, což částečně potvrzuje Hertelovu domněnku, že jediné k-samodlážditelné čtyřstěny jsou Hillovy. Domníváme se , že k = md je nutná podmínka pro existenci k-samodlážditelných simplexů (d > 3).

In the present work we study tetrahedral k-reptiles. A d-dimensional simplex is called a k-reptile if it can be tiled in k simplices with disjoint interiors that are all congruent and similar to S. For d = 2, triangular k-reptiles exist for many values of k and they have been completely characterized. On the other hand, the only simplicial k-reptiles that are known for d 3 have k = md, where m 2 (Hill simplices). We prove that for d = 3, tetrahedral k-reptiles exist only for k = m3. This partially confirms the Hertel's conjecture, asserting that the only tetrahedral k-reptiles are the Hill tetrahedra. We conjecture that k = md is necessary condition for existence of d-dimensional simplicial k-reptiles, d > 3.