Modelování úrokových sazeb s využitím Lévyho procesů

Abstract

V předložené práci studujeme HJM model časové struktury úrokových sazeb řízený Lévyho procesem. Studujeme bezaritrážní dynamiku diskontovaných cen bezkupónových dluhopisů a jako důsledek obrdžíme model pro proces bezrizikové úrokové sazby. Speciálně se zaměříme na proces krátkodobé úrokové sazby a zformulujeme kritéria pro tzv. mean reversion. Teorie nám dává postup pro získání procesu krátkodobé úrokové sazby pro obecný Lévyho řídící proces a obecnou strukturu volatility, a neprázdnost této teorie demonstrujeme na příkladu Orstein-Uhlenbeckova procesu řízeného Lévyho procesem, s marginálním generalized inverse Gaussian rozdělením. Výsledkem je xplicitní vzorec pro proces krátkodobé úrokové sazby, který zobecňuje Vašíčkův model, a navíc je vždy kladný. Nakonec studujeme numerické metod ypro takto zkonstruovaný proces úrokových sazeb, jako jsou simulace a multinomické stromy.

In this work we study the HJM model of the term structure of interest rates driven by a Lévy process. We study the no-arbitrage dynamics of the discounted bond prices and obtain a risk-neutral dynamics of the short rate as a consequence. We study in particular the short rate process and formulate a criteria for mean reversion. The theory gives us a machinery producing short rate processes associated with a general Lévy driver and general volatility structure and we show the non-emptiness of the theory by demonstrating the previous on an example of an OU type process associated with the generalized inverse Gaussian distribution. The upshot is an explicitely given short rate process that generalizes the Vašíček model, and moreover stays positive. Finally we study numerical methods for thus constructed short rate process such as simulations and lattice approximations.