Rothova věta o aritmetických posloupnostech

Abstract

Název práce: Rothova věta o aritmetických posloupnostech Autor: Michal Krkavec Katedra: Katedra aplikované matematiky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Martin Klazar, Dr., Katedra aplikované matematiky Abstrakt: V předložené práci se zabýváme vlastnostmi množin přirozených čí- sel neobsahujících aritmetické posloupnosti. Cílem této práce je podat přehled a srovnání analytických a kombinatorických důkazů Rothovy věty, která tvrdí, že každá množina s kladnou horní asymptotickou hustotou obsahuje aritmetic- kou posloupnost délky tři. Zaměříme se také na vývoj poznatků od Erd˝osovy- Turánovy domněnky přes Rothovu větu až ke slavné Szemerédiho větě, která podala odpověď pro aritmetické posloupnosti libovolné délky k. V závěru práce se seznámíme s odhady čísla r3(n), které odpovídá největší velikosti podmnožiny A ⊆ [n], jež neobsahuje žádné aritmetické posloupnosti délky tři. Ukážeme dvě konstrukce, jak takové množiny A ⊆ [n] vybrat. Klíčová slova: Aditivní teorie čísel, Aritmetická posloupnost, Rothova věta, Elki- nova konstrukce

Title: Roth's theorem on arithmetic progressions Author: Michal Krkavec Department: Department of Applied Mathematics Supervisor: doc. RNDr. Martin Klazar, Dr., Department of Applied Mathematics Abstract: In the presented summary work we study sets of natural numbers not containing arithmetic progressions. The aim of this thesis is to provide an overview and comparison of both analytical and combinatorial proofs of Roth's theorem, which states that every set of positive upper asymptotic density contains arithme- tic progression of length three. We also focus on the Erd˝os-Turán conjecture and Szemerédi's theorem, which finally settled the conjecture for arithmetic progres- sions of arbitrary length k. In the end, we introduce the bounds for the number r3(n), which corresponds to the largest size of a subset A ⊆ [n], which contains no arithmetic progressions of length three. At the end we present two constructions of progression-free sets. Keywords: Additive number theory, Arithmetic progressions, Roth's theorem, Elkin's construction 1