Hausdorffova metrika a její použití ve fraktálech

Abstract

Název práce: Hausdorffova metrika a její použití ve fraktálech Autor: Branislav Ján Roháľ Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Miroslav Hušek, DrSc., Katedra matematické analýzy Abstrakt: V tejto práci sa zaoberáme viacerými témami, prirodzene sa spájajú- cimi s pojmom fraktál. V prvej časti práce venujeme pozornosť Banachovej vete o pevnom bode a Hausdorffovej metrike, ktoré ďalej používame pri štúdiu sa- mopodobných množín. Ďalej sú zaradené state o Hausdorffovej, podobnostnej či mriežkovej (angl. box-counting) dimenzii. V druhej časti práce referujeme o no- vých prístupoch k fraktálnej dimenzii a o niektorých ich vlastnostiach. Uvádzame zovšeobecnenie tohto pojmu na ľubovoľný priestor pripúšťajúci fraktálnu štruk- túru a na vzdialenostný priestor, kde už zohľadňujeme aj "veľkosť" množín na jednotlivých úrovniach fraktálnej štruktúry. V poslednej kapitole demonštruje- me prínos nových prístupov, umožňujúcich definovať potrebné pojmy a počítať fraktálnu dimenziu aj tam, kde to klasické prístupy neumožňovali. Uvádzame aplikáciu na obor slov (angl. domain of words) a počítame dimenzie jazyka gene- rovaného regulárnym výrazom. Klíčová slova: Hausdorffova metrika, Banachova veta o pevnom bode, samo- podobná množina, Hausdorffova dimenzia, fraktálna dimenzia

Title: Hausdorff metric and its application in fractals Author: Branislav Ján Roháľ Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: prof. RNDr. Miroslav Hušek, DrSc., Department of Mathematical Analysis Abstract: In this thesis we focus on the themes naturally connected with the con- cept of a fractal. In the first part of the thesis we pay attention to Banach fixed point theorem and to the Hausdorff metric which are later used when studying self-similar sets. There are included parts on the Hausdorff, similarity, and box- counting dimension, too. In the second part of the thesis the new approaches to fractal dimension and some their properties are refered. We introduce generaliza- tion of this concept for any space admitting a fractal structure and for a distance space where also the "size" of sets on each level of fractal structure is considered. In the last chapter the contribution of new approache is demonstrated, - this enables defining the notion needed and counting fractal dimension where it was not possible under the classical approaches, too. Application to the domain of words and counting of dimensions of a language generated by a regular expresion are presented. Keywords: Hausdorff metric, Banach fixed point theorem, self-similar set, Hausdorff dimension, fractal dimension