Topologie definované pomocí ideálů

Abstract

V této práci se zabýváme topologiemi, které vzniknou modifikací nějaké dané topologie pomocí ideálů - zaměříme se na ideály lokalizovatelné a silně lokalizovatelné. V první kapitole zavedeme ideálovou topologii pomocí jistého množinového zobrazení a následně ukážeme, jaký je její vztah k původní topologii. Dále budeme zkoumat, jaké vlastnosti nabývají v nové topologii prvky z ideálu, například za určitých podmínek je pak ideál tvořen právě všemi množinami řídkými v ideálové topologii. Nakonec ukážeme, kdy je nová topologie regulární, a zformulujeme nutné a postačující podmínky k tomu, aby byl prostor s ideálovou topologií Baireův. V druhé kapitole pak tyto poznatky aplikujeme na konkrétní příklady ideálů a topologií definovaných pomocí nich.

In this thesis we study the topologies formed by a modification of some given topology using ideals - we focus on localizable and strongly localizable ideals. In the first chapter we use a certain set mapping to define ideal topology, then we show its relation to the initial topology. Next we investigate what properties the elements of ideal obtains in the new topology, for example on certain conditions the ideal becomes exactly the set of all nowhere dense sets in the ideal topology. Finally, we show when the new topology is regular and formulate necessary and sufficient conditions for a set with ideal topology to be a Baire space. In the second chapter we apply the results on concrete examples of ideals and topologies defined by them.