Vlastnosti metrických prostorů pomocí konvergence

Abstract

V této práci se zaobíráme zobecněním struktury konvergence v metrických prostorech a charakterizací některých vlastností pomocí posloupností. Na základě chování konvergentních posloupností, které společně s vybranými vlastnostmi metrických prostorů připomínáme, zavádíme dvě obecné struktury. První z nich, sekvenciální prostor, obsahuje informace o limitě posloupností, kterou uvažuje jednoznačnou. Druhá, uniformně sekvenciální prostor, zobecňuje relaci blízkosti dvou posloupností. Ukážeme, že spojitost zobrazení, topologie, kompaktnost, souvislost a separabilita se dají odvodit ze sekvenciální struktury. Dále že totální omezenost a úplnost se dají charakterizovat s využitím pojmu cauchyovské posloupnosti, kterou můžeme definovat v uniformně sekvenciálních strukturách. O omezenosti dokážeme, že ji nelze popsat ani jednou z těchto struktur.

In this thesis we deal with generalisation of the structure of convergence in metric spaces and characterisation of some properties using sequences. On basic of behaviour of convergent sequences in metric spaces which we alongside with selected properties in metric spaces remind we introduce the general structures. The first of them - sequential spaces - includes the information about the limit of a sequence which we consider to be unique. The second - uniformly sequential spaces - generalises the relation of adjacency of two sequences. We show that continuity of a mapping, topology, compactness, connectedness and separability can be induced from a sequential structure. In addition, we show total boundedness and completeness can be characterised using the term of a Cauchy sequence which we can define in a uniformly sequential structure. Boundedness is shown to be independent on both of those structures.