Homomorphic encryption and coding theory

Abstract

Název práce: Homomorphic encryption and coding theory Autor: Veronika Půlpánová Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Michal Hojsík, Ph.D., Katedra algebry Abstrakt: V dnešní době se většina výzkumu v plně homomorfním šifrování opí- rá o teorii mříží. Tato práce se zabývá alternativními přístupy k homomorfnímu šifrování. Nejdříve si ukážeme homomorfní kryptosystém, založený na teorii kó- dů, navržený Armknechtem a kol. a popíšeme jeho vlastnosti. Dále prezentujeme kryptosystémy ze skupiny známé jako Polly Cracker a poukážeme si některé je- jich problematické aspekty. Hlavním přínosem této práce je design nového syme- trického plně homomorfního kryptosystému, který je založen na Polly Crackeru. Navrhujeme nový přístup k řešení problému vysoké výpočetní složitosti u jedno- duchých Polly Cracker systémů. Design používá Gröbnerovy báze pro generová- ní zero-dimensional ideals polynomiálních okruhů nad konečnými tělesy, jejichž faktorokruhy dále používá jako okruhy šifrových textů. Gröbnerovy báze dávají těmto okruhům snadno algoritmizovatelnou multiplikativní strukturu, vhodnou pro plně homomorfní šifrování. Klíčová slova: Plně homomorfní šifrování, Polly Cracker, teorie kódů, zero-dimensional ideals

Title: Homomorphic encryption and coding theory Author: Veronika Půlpánová Department: Department of algebra Supervisor: RNDr. Michal Hojsík, Ph.D., Department of algebra Abstract: The current mainstream in fully homomorphic encryption is the appro- ach that uses the theory of lattices. The thesis explores alternative approaches to homomorphic encryption. First we present a code-based homomorphic encrypti- on scheme by Armknecht et. al. and study its properties. Then we describe the family of cryptosystems commonly known as Polly Cracker and identify its pro- blematic aspects. The main contribution of this thesis is the design of a new fully homomorphic symmetric encryption scheme based on Polly Cracker. It proposes a new approach to overcoming the complexity of the simple Polly Cracker - based cryptosystems. It uses Gröbner bases to generate zero-dimensional ideals of po- lynomial rings over finite fields whose factor rings are then used as the rings of ciphertexts. Gröbner bases equip these rings with a multiplicative structure that is easily algorithmized, thus providing an environment for a fully homomorphic cryptosystem. Keywords: Fully homomorphic encryption, Polly Cracker, coding theory, zero- dimensional ideals