Nové míry slabé nekompaktnosti

Abstract

Tato práce se zabývá mírami slabé nekompaktnosti, tj. kvantitami, které růz- nými způsoby měří slabou nekompaktnost omezených podmnožin Banachových prostorů. Kromě některých známých měr slabé nekompaktnosti zavedeme nové míry, které jsou v jistém smyslu přirozenější, a následně ukážeme, jaké jsou mezi nimi vztahy. Dokážeme mimo jiné kvantitativní verze Eberlein-Grothendieckovy, Eberlein-Šmulianovy a Jamesovy věty. Dále se zabýváme mírami slabé nekom- paktnosti jednotkové koule a mírami slabé nekompaktnosti množin v Banacho- vých prostorech s w∗ -andělskou duální jednotkovou koulí. Ukážeme, že v těchto případech některé z definovaných kvantit splývají. Nakonec se zaměříme na to, jak se definované míry slabé nekompaktnosti chovají při přechodu ke konvexnímu a absolutně konvexnímu obalu. Dokážeme kvantitativní verzi Krejnovy věty a uká- žeme též, že v Banachových prostorech s w∗ -andělskou duální jednotkovou koulí se většina kvantit při přechodu ke konvexnímu a absolutně konvexnímu obalu nezmění.

The main topic of this thesis is the measures of weak non-compactness, which, in different ways, measure weak non-compactness of bounded sets in Banach spa- ces. Besides some known measures of weak non-compactness, we introduce new measures, that are more natural in some sense, and we show the relationships be- tween them. We prove quantitative versions of Eberlein-Grothendieck, Eberlein- Šmulian, and James' theorems. Afterwards, we deal with measures of weak non-compactness of the unit ball and measures of weak non-compactness of sets in Banach spaces with w∗ -angelic dual unit ball. We prove that in these cases some of the defined measures coincide. Finally, we focus on the behaviour of the defined measures while passing to convex and absolute convex hull. We prove quantitative version of Krein's theorem and we also prove that most of the mea- sures do not change when passing to convex and absolute convex hull in Banach spaces with w∗ -angelic dual unit ball.