Superkonvergence pro časové diskretizace pomocí nespojité Galerkinovy metody

Abstract

Tématem této práce je teoretická analýza nespojité Galerkinovy metody pro časoprostorové diskretizace jednoduchých nestacionárních úloh. Narozdíl od standartní Metody konečných prvků (FEM) nevyžaduje nespojitá Galerkinova metoda spojitost přibližného řešení mezi sousedními prvky triangulace. Nespojitou Galerkinovu metodu aplikujeme zvlášť v čase a v prostoru. Nejprve diskretizujeme prostorovou část úlohy, a získáme tak prostorovou semidiskretizaci. Na semidiskrétní problém následně aplikujeme Časově nespojitou Galerkinovu metodu. Aproximaci řešení pak hledáme v prostoru nespojitých po částech polynomiálních funkcí stupně p a q v prostorové, respektive časové proměnné. Následuje analýza chyb tohoto schématu. Nakonec se věnujeme superkonvergenci schématu v uzlových bodech časové diskretizace. Numerické výpočty potvrzují teoretické výsledky.

The topic of this thesis is the application of the discontinuous Galerkin finite element method (DGFEM) on space-time discretizations of simple nonstationary problems. Unlike the standard finite element method, discontinuous Galerkin method does not require any continuity between neighbouring elements. We apply the DGFEM separately in space and in time. At first, we implement discretization with respect to space variables, whereby we acquire the space semidiscretization. Subsequently we apply Time discontinuous Galerkin method to the problem. We seek the aproximate solution in the space of discontinuous piecewise polynomial functions of degree p in space and degree q in time. This is followed by the error estimates of this scheme. In the end we examine the supercovergence behaviour of the scheme in nodes of the time discretization. The theoretical results are verified by numerical experiments.