Silně stacionární časy a konvergence Markovských řetězců

Abstract

V této práci si ukážeme, jak se dá odhadovat rychlost konvergence markovských řetězců k jejich stacionárnímu rozdělení. Budeme k tomu používat metodu využívající silně stacionárních časů. Zaměříme se pouze na nerozložitelné a aperiodické řetězce, u kterých máme zaručenou existenci právě jednoho sta- cionárního rozdělení. Zavedeme si čas mixingu markovského řetězce neboli čas potřebný k tomu, aby marginální rozdělení řetězce bylo dostatečně blízko stacionárnímu. K měření vzdálenosti mezi rozděleními budeme v této práci používat vzdálenost v totální variaci. Hlavním cílem práce bude pro vybrané řetězce zkonstruovat vhodný silně stacionární čas a ten pak použít k nalezení horního odhadu času mixingu.

In this thesis we study the estimation of speed of convergence of Markov chains to their stacionary distributions. For that purpose we will use the method of strong stationary times. We focus on irreducible and aperiodic chains only since in that case the existence of exactly one stationary distribution is guaranteed. We introduce the mixing time for a Markov chain as the time needed for the marginal distribution of the chain to be sufficiently close to the stationary dis- tribution. The distance between two distributions is measured by the total variation distance. The main goal of this thesis is to construct an appropriate strong stationary time for selected chains and then use it for obtaining an upper bound for the mixing time.