Analýza atraktorů zobecněných Newtonovských tekutin v 3d oblastech

Abstract

Zkoumáme systém nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, konkrétně tzv. model Ladyženské, ve třech prostorových dimenzích. Ukážeme, že po přidání perturbace vyššího řádu tento model vykazuje podstatně lepší analyzovatelnost, obzvláště díky relativně snadno dokazatelné diferencovatelnosti řešení podle počáteční podmínky. Díky tomuto faktu budeme na rozdíl od původního modelu oprávněni aplikovat metodu ljapunovských exponentů k odhadu fraktální dimenze exponenciálního atraktoru. Než ovšem dosáhneme tohoto výsledku, bude nutné obvyklými metodami dokázat existenci a jednoznačnost řešení, zlepšenou regularitu a především existenci kompaktní invariantní množiny pro celý systém.

We investigate a system of nonlinear partial differential equations, specifically the so-called Ladyzhenskaya model, in three spatial dimensions. It will be shown that after inclusion of a perturbation of a higher order, the model exhibits a considerably better behavior, in particular it will become quite straightforward to prove differentiability of solutions with respect to the initial condition. Due to this fact we may consequently employ the method of Lyapunov exponents to estimate the fractal dimension of the exponential attractor. First, however, it will be necessary to show existence and uniqueness of solutions, improved regularity and existence of a compact invariant set for the entire system.