Estimation of the algebraic error and stopping criteria in numerical solution of partial differential equations

Abstract

Název práce: Odhady algebraické chyby a zastavovací kritéria v numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic Autor: Jan Papež Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. Abstrakt: Po uvedení modelového problému a jeho vlastností je v práci popsána metoda sdružených gradientů (Conjugate Gradient Method - CG), jsou uvedeny odhady energetické normy chyby a je navržena heuristika pro adaptivní zpřesňování odhadů ve výpočtech. Na konkrétních příkladech je ukázán rozdíl v lokálním chování algebraické a diskretizační chyby v nume- rickém řešení modelového problému. Dále jsou uvedeny a posteriori odhady diskretizační a celkové chyby, které zahrnují chybu řešení algebraické sou- stavy. Myšlenka použití více sítí při řešení modelového problému je ukázána na víceúrovňové metodě (multigrid method). Poté je popsána Deuflhardova metoda Cascadic Conjugate Gradient Method (CCG), pro kterou jsou odvo- zena nová zastavovací kritéria s využitím odhadů algebraické a diskretizační chyby popsaných v předchozích částech předložené práce. Na závěr je metoda CCG s novými zastavovacími kritérii testována. Klíčová slova: numerické řešení parciálních...

Title: Estimation of the algebraic error and stopping criteria in numerical solution of partial differential equations Author: Jan Papež Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor of the master thesis: Zdeněk Strakoš Abstract: After introduction of the model problem and its properties we describe the Conjugate Gradient Method (CG). We present the estimates of the energy norm of the error and a heuristic for the adaptive refinement of the estimate. The difference in the local behaviour of the discretization and the algebraic error is illustrated by numerical experiments using the given model problem. A posteriori estimates for the discretization and the total error that take into account the inexact solution of the algebraic system are then discussed. In order to get a useful perspective, we briefly recall the multigrid method. Then the Cascadic Conjugate Gradient Method of Deuflhard (CCG) is presented. Using the estimates for the error presented in the preceding parts of the thesis, the new stopping criteria for CCG are proposed. The CCG method with the new stopping criteria is then tested. Keywords: numerical PDE, discretization error, algebraic error, error es- timates, locality of the error, adaptivity