Deskriptivní vlastnosti množin v Banachových prostorech

Abstract

Podstatná část práce je věnována studiu množin fréchetovské subdiferencovatelnosti z hlediska deskritpnivní teorie množin. Jsou podána důkazy již známých výsledků L. Zajíčka, P. Holického, M. Laczkoviche a M. Šmídka. Novým výsledkem je, že na každém nereflexivním Banachově prostoru existuje lipschitzovská funkce s neborelovskou množinou fréchetovské subdiferencovatelnosti. Jsou také zkoumány borelovské třídy množim fréchetovské subdiferencovatelnosti spojitých funkcí na reflexních prostorech. Dále jsou zkoumány některé množiny posloupností v Banachových prostorech. Je předveden modifikovaný důkaz věty R. kaufmana, která říká, že každý nereflexivní Banachův prostor lze přenormovat tak, aby množina funkcionálů nabývajících normy nebyla borelovská. Je dokázána charakterizace Banachových prostorů, které nejsou kvazireflexivní.

An essential part of the work is devoted to the study of the sets of Fréchet subdi erentiability from the view of the descriptive set theory. Proofs of the known results of L. Zajíek, P. Holický, M. Laczkovich and M. Šmídek are given. A new result is that there exists a Lipschitz function with non-Borel set of Fréchet subdi erentiability on every non-reflexive Banach space. The Borel classes of the sets of Fréchet subdi erentiability of continuous functions on reflexive spaces are studied as well. Further, some sets of sequences in Banach spaces are investigated. A modi ed proof of the theorem of R. Kaufman which says that every non-re exive Banach space can be renormed not to have Borel set of norm-attaining functionals is shown. A characterization of non-quasire exive Banach spaces is given.