Proof Systems: A Study on Form and Complexity

Abstract

Důkazové systémy: forma a složitost Tato disertační práce obsahuje tři části. První dvě části spolu souvisí. V [1] a [2], Iemhoff objevila souvislost mezi existencí terminujícího sekvenčního kalkulu určitého druhu a uniformní interpolační vlastností superintuicioni- stické logiky, kterou tento kalkulus zachycuje. Ve druhé části budeme tento vztah zobecňovat tak, aby pokrýval také substrukturální nastavení na jedné straně a silnější typ systémů nazývaných semi-analytické kalkuly na straně druhé. Abychom byli přesnější, ukážeme, že jakákoli dostatečně silná sub- strukturální logika se semi-analytickým kalkulem má Craigovu interpolační vlastnost a v případě, že je kalkulus terminující, má uniformní interpo- laci. Tento vztah pak vede k některým konkrétním aplikacím. Pozitivním výsledkem je, že poskytuje jednotnou metodu k prokázání uniformní in- terpolační vlastnosti pro logiky FLe, FLew, CFLe, CFLew, IPC, CPC a některá z jejich modálních rozšíření K a KD. Další aplikací je nega- tivní výsledek, že mnohé substrukturální logiky, včetně Ln, Gn, BL, R a RMe , téměř všechny superintuicionistické logiky (kromě nejvýše sedmi z nich) a téměř všechna rozšíření S4 (kromě třiceti sedmi z nich)...

Proof Systems: A Study on Form and Complexity This dissertation includes three parts. The first two parts are related to each other. In [2] and [1], Iemhoff introduced a connection between the existence of a terminating sequent calculus of a certain kind and the uniform inter- polation property of the super-intuitionistic logic that the calculus captures. In the second part, we will generalize this relationship to also cover the sub- structural setting on the one hand and a more powerful type of systems called semi-analytic calculi, on the other. To be more precise, we will show that any sufficiently strong substructural logic with a semi-analytic calculus has Craig interpolation property and in case that the calculus is also terminating, it has uniform interpolation. This relationship then leads to some concrete applications. On the positive side, it provides a uniform method to prove the uniform interpolation property for the logics FLe, FLew, CFLe, CFLew, IPC, CPC and some of their K and KD-type modal extensions. However, on the negative side the relationship finds its more interesting application to show that many sub-structural logics including Ln, Gn, BL, R and RMe , al- most all super-intutionistic logics (except at most seven of them) and almost all extensions of S4 (except thirty seven of them) do not...